Vertex Form: Hva er det? Hvordan beregner du det?

feature_vertexformparabolae

Når du har den kvadratiske formelen og det grunnleggende i kvadratiske ligninger ned kaldt, er det på tide for neste nivå i forholdet ditt til paraboler: lære om deres toppunktform .

Les videre for å lære mer om parabelhøydeformen og hvordan du konverterer en kvadratisk ligning fra standardform til toppunktform.



funksjonskreditt: SBA73 /Flickr

Hvorfor er Vertex Form nyttig? Et overblikk

De toppunktform av en ligning er en alternativ måte å skrive ut ligningen til en parabel.

Normalt ser du en kvadratisk ligning skrevet som $ ax^2+bx+c $, som, når den er grafisk, vil være en parabel. Fra dette skjemaet er det lett nok å finne røttene til ligningen (hvor parabolen treffer $ x $ -aksen) ved å sette ligningen lik null (eller bruke den kvadratiske formelen).

Hvis du trenger å finne toppunktet til en parabel, er standard kvadratisk form imidlertid mye mindre nyttig. I stedet vil du konvertere den kvadratiske ligningen til toppunktform.

Hva er Vertex Form?

Mens standard kvadratisk form er $ ax^2+bx+c = y $, toppunktet av en kvadratisk ligning er $ bi y = bi a ( bi x- bi h)^2+ bi k $.

I begge skjemaene er $ y $ $ y $ -koordinaten, $ x $ er $ x $ -koordinaten, og $ a $ er konstanten som forteller deg om parabolen vender opp ($+a $) eller ned ($ -a $). (Jeg tenker på det som om parabolen var en bolle med eplesaus; hvis det er en $+a $, kan jeg legge eplemos til bollen; hvis det er en $ -a $, kan jeg riste eplemassen ut av bollen.)

Forskjellen mellom en parabel standard form og toppunkt er at toppunktet av ligningen også gir deg parabelens toppunkt: $ (h, k) $.

Ta for eksempel en titt på denne fine parabolen, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $:

body_afineparabola

Basert på grafen ser parabelens toppunkt ut til å være omtrent (-1,5, -2), men det er vanskelig å vite nøyaktig hvor toppunktet er fra bare grafen alene. Heldigvis, basert på ligningen $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $, vet vi at toppunktet til denne parabelen er $ (-4/3, -2) $.

Hvorfor er toppunktet $ (-4/3, -2) $ og ikke $ (4/3, -2) $ (annet enn grafen, noe som gjør det klart både $ x $-og $ y $ -koordinatene til toppunktet er negativt)?

Huske: i toppunktformlikningen blir $ h $ trukket fra og $ k $ blir lagt til . Hvis du har en negativ $ h $ eller en negativ $ k $, må du sørge for at du trekker fra den negative $ h $ og legger til den negative $ k $.

I dette tilfellet betyr dette:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x- (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

og så er toppunktet $ (-4/3, -2) $.

Du bør alltid dobbeltsjekke dine positive og negative tegn når du skriver ut en parabel i toppunkt , spesielt hvis toppunktet ikke har positive $ x $ og $ y $ verdier (eller for deg kvadranthoder der ute, hvis det ikke er i kvadrant I). Dette ligner på sjekken du ville gjort hvis du løste den kvadratiske formelen ($ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $) og måtte sørge for at du beholdt det positive og negative rett for $ a $ s, $ b $ s og $ c $ s.

Nedenfor er en tabell med ytterligere eksempler på noen få andre parabelhøydeformlikninger, sammen med hjørnene. Legg spesielt merke til forskjellen i $ (x-h)^2 $ -delen av parabelhøydeformsligningen når $ x $ -koordinaten til toppunktet er negativ.

Parabola Vertex -skjema

Vertex -koordinater

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4,17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ ( - 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

$ (- 2,4,2,4) $

Hvordan konvertere fra standard kvadratisk form til Vertex -skjema

Mesteparten av tiden når du blir bedt om å konvertere kvadratiske ligninger mellom forskjellige former, går du fra standardform ($ ax^2+bx+c $) til toppunktform ($ a (xh)^2+k $ ).

Prosessen med å konvertere ligningen din fra standard kvadratisk til toppunktform innebærer å gjøre et sett med trinn som kalles å fullføre kvadratet. (For mer om hvordan du fullfører torget, må du lese denne artikkelen.)

La oss gå gjennom et eksempel på å konvertere en ligning fra standardform til toppunkt. Vi starter med ligningen $ y = 7x^2+42x-3/14 $.

Det første du vil gjøre er å flytte konstanten, eller begrepet uten en $ x $ eller $ x^2 $ ved siden av den. I dette tilfellet er vår konstante $ -3/14 $. (Vi vet det negativ $ 3/14 $ fordi standard kvadratisk ligning er $ ax^2+bx+c $, ikke $ ax^2+bx-c $.)

Først tar vi den $ -3/14 $ og flytter den over på venstre side av ligningen:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

Det neste trinnet er å faktorisere 7 ($ a $ -verdien i ligningen) fra høyre side, slik:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Flott! Denne ligningen ser mye mer ut som toppunktform, $ y = a (x-h)^2+k $.

På dette tidspunktet tenker du kanskje: 'Alt jeg trenger å gjøre nå er å flytte $ 3/14 $ tilbake til høyre side av ligningen, ikke sant?' Akk, ikke så fort.

Hvis du tar en titt på en del av ligningen inne i parentesene, vil du legge merke til et problem: det er ikke i form av $ (x-h)^2 $. Det er for mange $ x $ s! Så vi er ikke helt ferdige ennå.

Det vi trenger å gjøre nå er den vanskeligste delen - å fullføre firkanten.

La oss se nærmere på $ x^2+6x $ delen av ligningen. For å faktorisere $ (x^2+6x) $ til noe som ligner $ (xh)^2 $, må vi legge til en konstant på innsiden av parentesene - og vi må huske å legge den konstanten til den andre siden av ligningen også (siden ligningen må være balansert).

For å sette opp dette (og sørg for at vi ikke glemmer å legge konstanten til den andre siden av ligningen), skal vi lage et tomt mellomrom der konstanten vil gå på hver side av ligningen:

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Vær oppmerksom på at på venstre side av ligningen, sørget vi for å inkludere vår $ a $ -verdi, 7, foran plassen der vår konstant vil gå; dette er fordi vi ikke bare legger konstanten til høyre side av ligningen, men vi multipliserer konstanten med det som er på utsiden av parentesene. (Hvis verdien $ a $ er 1, trenger du ikke bekymre deg for dette.)

Det neste trinnet er å fullføre torget. I dette tilfellet er kvadratet du fullfører ligningen inne i parentesene - ved å legge til en konstant, gjør du den til en ligning som kan skrives som en firkant.

For å beregne den nye konstanten, ta verdien ved siden av $ x $ (6, i dette tilfellet), divider den med 2 og firkant den.

$ (6/2)^2 = (3)^2 = 9 $. Konstanten er 9.

Grunnen til at vi halverer 6 og firkanten er at vi vet at $ px+px = i en ligning i formen $ (x+p) (x+p) $ (som vi prøver å komme til) 6x $, så $ p = 6/2 $; For å få den konstante $ p^2 $, må vi dermed ta $ 6/2 $ (vår $ p $) og kvadrere den.

Nå, erstatt tomrommet på hver side av ligningen vår med konstanten 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Faktoriser deretter ligningen inne i parentesene. Fordi vi fullførte kvadratet, vil du kunne faktorisere det som $ (x+{ some number})^2 $.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Siste trinn: flytt ikke- $ y $ -verdien fra venstre side av ligningen tilbake til høyre side:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

hva er 14 liter

Gratulerer! Du har konvertert ligningen din fra standard kvadratisk til toppunktform.

Nå vil de fleste problemene ikke bare be deg om å konvertere ligningene dine fra standardform til toppunkt; de vil at du faktisk skal gi koordinatene til toppunktet til parabolen.

For å unngå å bli lurt av tegnendringer, la oss skrive ut den generelle toppunktformlikningen rett over toppunktformlikningen vi nettopp har beregnet:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Og så kan vi enkelt finne $ h $ og $ k $:

$ -h = 3 $

$ h = -3 $

$ + k = -63 {3/14} $

Toppunktet til denne parabolen er ved koordinatene $ (-3, -63 {3/14}) $.

Puh, det var mange blande tall rundt! Heldigvis er det mye enklere å konvertere ligninger i den andre retningen (fra toppunkt til standardform).

body_shufflearoundnumbers

Hvordan konvertere fra Vertex -skjema til standardform

Å konvertere ligninger fra deres toppunktform til den vanlige kvadratiske formen er en mye mer enkel prosess: alt du trenger å gjøre er å multiplisere toppunktformen.

La oss ta vår eksempelligning fra tidligere, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $. For å gjøre dette til standardform, utvider vi bare høyre side av ligningen:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada! Du har konvertert $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $ til $ ax^2+bx+c $ -formen.

body_vertexformspørsmål

Parabola Vertex Form Practice: Eksempel på spørsmål

For å avslutte denne utforskningen av toppunktform, har vi fire eksempler på problemer og forklaringer. Se om du kan løse problemene selv før du leser gjennom forklaringene!

#1: Hva er toppunktet for den kvadratiske ligningen $ x^2+ 2,6x+ 1,2 $?

#2: Konverter ligningen $ 7y = 91x^2-112 $ til toppunktform. Hva er toppunktet?

#3: Gitt ligningen $ y = 2 (x-3/2)^2-9 $, hva er $ x $ -koordinatene for hvor denne ligningen skjærer med $ x $ -aksen?

#4: Finn toppunktet til parabelen $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $.

body_vertexformsolutions

Parabola Vertex Form Practice: Solutions

#1: Hva er toppunktet for den kvadratiske ligningen $ { bi x^2}+ 2.6 bi x+ 1.2 $?

Start med å skille ut variabelen non- $ x $ på den andre siden av ligningen:

$ y-1.2 = x ^ 2 + 2.6x $

Siden vår $ a $ (som i $ ax^2+bx+c $) i den opprinnelige ligningen er lik 1, trenger vi ikke å faktorisere den fra høyre side her (selv om du vil, kan du skrive $ y-1.2 = 1 (x^2+2.6x) $).

Deretter deler du $ x $ -koeffisienten (2.6) med 2 og kvadrerer den, og legger deretter til det resulterende tallet på begge sider av ligningen:

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1.2 + 1 (1.69) = 1 (x ^ 2 + 2.6x + 1.69) $

Faktor høyre side av ligningen inne i parentesene:

$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $

Til slutt kombinerer du konstantene på venstre side av ligningen, og flytter dem deretter til høyre side.

$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Svaret vårt er $ y = (x+1.3)^2-0.49 $.

#2: Konverter ligningen $ 7 bi y = 91 bi x^2-112 $ til toppunktform. Hva er toppunktet?

Når du konverterer en ligning til toppunktform, vil du at $ y $ har en koeffisient på 1, så det første vi skal gjøre er å dele begge sider av denne ligningen med 7:

$ 7y = 91x^2-112 $

$ {7y}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

akseptfrekvens ved universitetet i Illinois

Deretter tar du konstanten over til venstre side av ligningen:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Faktor ut koeffisienten for $ x^2 $ -tallet ($ a $) fra høyre side av ligningen

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Normalt må du fullføre firkanten på høyre side av ligningen inne i parentesen. Imidlertid er $ x^2 $ allerede et kvadrat, så du trenger ikke gjøre noe annet enn å flytte konstanten fra venstre side av ligningen tilbake til høyre side:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Nå for å finne toppunktet:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$ -h = 0 $, så $ h = 0 $

$+k = -16 $, så $ k = -16 $

Toppens toppunkt er på $ (0, -16) $.

#3: Gitt ligningen $ bi y = 2 ( bi x-3/2)^2-9 $, hva er (er) $ bi x $ -koordinaten (e) hvor denne ligningen krysser med $ bi x $ -akse?

Fordi spørsmålet ber deg om å finne $ x $ -avsnittet (e) i ligningen, er det første trinnet å sette $ y = 0 $.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Nå er det et par måter å gå herfra. Den lure måten er å bruke det faktum at det allerede er en firkant skrevet inn i toppunktformformelen til vår fordel.

Først flytter vi konstanten til venstre side av ligningen:

$ 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

$ 9 = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Deretter deler vi begge sider av ligningen med 2:

$ 9/2 = (x-3/2) ^ 2 $

Nå, den lure delen. Ta kvadratroten på begge sider av ligningen:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3 /2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

$ {3√2}/2 = x- {3/2} $ og $ {-3√2}/2 = x- {3/2} $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ og $ x = 3/2- {3√2}/2 $

Alternativt kan du finne røttene til ligningen ved først å konvertere ligningen fra toppunktform tilbake til standard kvadratisk ligningsform, og deretter bruke den kvadratiske formelen for å løse den.

Multipliser først høyre side av ligningen:

$ 0 = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

$ 0 = 2 (x^2- {6/2} x+{9/4})-9 $

$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Kombiner deretter lignende termer:

$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $

På dette tidspunktet kan du enten velge å prøve å beregne faktoren selv ved å prøve og feile eller koble ligningen til den kvadratiske formelen. Hvis jeg ser en koeffisient ved siden av $ x^2 $, bruker jeg vanligvis den kvadratiske formelen, i stedet for å prøve å holde alt rett i hodet mitt, så la oss gå gjennom det her.

Husk at $ 2x^2-6x-9/2 $ er i form av $ ax^2+bx+c $:

$ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {72}} / 4 $

$ x = {6+6√2}/4 $ og $ x = {-6-6√2}/4 $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ og $ x = 3/2- {3√2}/2 $

#4: Finn toppunktet til parabolen $ bi y = ({1/9} bi x-6) ( bi x+4) $.

Det første trinnet er å multiplisere $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $ slik at konstanten er atskilt fra $ x $ og $ x^2 $ vilkårene.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Flytt deretter konstanten til venstre side av ligningen.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Faktor ut verdien $ a $ fra høyre side av ligningen:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Lag et mellomrom på hver side av ligningen der du vil legge til konstanten for å fullføre kvadratet:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Beregn konstanten ved å dele koeffisienten for termen $ x $ i to, og kvadrer den deretter:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Sett den beregnede konstanten tilbake i ligningen på begge sider for å fullføre kvadratet:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Kombiner like termer på venstre side av ligningen og faktor høyre side av ligningen i parentes:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Ta konstanten på venstre side av ligningen tilbake til høyre side:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

Ligningen er i toppunktform, woohoo! For å finne toppunktet til parabolen:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$ -h = -25 $ så $ h = 25 $

$+k =-{841/9} ≈-93,4 $ (avrundet)

Toppens toppunkt er på $ (25, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

Interessante Artikler

Forstå stedsverdi: desimaler, store tall og enkle diagrammer

Hva er stedsverdi? Hvordan virker det? Guiden vår forklarer hvordan desimalverdi fungerer og hvordan du bruker den til å forstå svært store og svært små tall.

Beste skoler i CA | Wilmer Amina Carter videregående rangering og statistikk

Finn statlige rangeringer, SAT / ACT-score, AP-klasser, lærernettsteder, idrettslag og mer om Wilmer Amina Carter High School i Rialto, CA.

De 23 SAT-tipsene og triksene du må bruke

Det er mye å mestre på SAT, men noen tips gir deg mange flere poeng enn andre. Vi har samlet de beste SAT-tipsene og triksene du absolutt bør bruke for å forbedre poengsummen din.

1380 SAT Score: Er dette bra?

113 ordbøker for å lage ditt eget spill

Trenger du Pictionary -ideer for å sette opp spillet ditt? Sjekk ut vår omfattende Pictionary -ordliste for å komme i gang.

2016-17 Akademisk guide | Norco videregående skole

Finn statlige rangeringer, SAT/ACT -poengsummer, AP -klasser, lærerwebsteder, idrettslag og mer om Norco High School i Norco, CA.

Opptakskrav til Patrick Henry College

Hva du må vite om Independence High School

Finn statlige rangeringer, SAT/ACT -poengsummer, AP -klasser, lærerwebsteder, idrettslag og mer om Independence High School i San Jose, CA.

Ultimate Local Scholarships Guide: Hvordan finne og vinne dem

Leter du etter lokale stipend? Vi forklarer hvordan du finner de du er kvalifisert for, og tilbyr tips om hvordan du lager den perfekte applikasjonen.

Whitman College ACT -poeng og GPA

Beste sammendrag og analyse: The Great Gatsby, kapittel 5

Spørsmål om Gatsby og Daisys date og den berømte skjortekastingsscenen? Sjekk vår The Great Gatsby kapittel 5 -sammendrag for alle detaljer.

Queens College (City University of New York) Opptakskrav

Hvilken SAT -score bruker høyskoler?

Hvilken SAT -score bryr høyskoler seg om for høyskoleapplikasjoner? Hva med poengsumvalg og skriving? Finn ut hvordan du maksimerer sjansene for SAT -poengsum her.

College Board avslutter SAT -emnetester: Det du trenger å vite

College Board kunngjorde nylig slutten på SAT -fagprøver. Lær begrunnelsen bak denne beslutningen og hva den betyr for studenter.

Hva du må vite om John O'Connell High School

Finn statlige rangeringer, SAT / ACT-score, AP-klasser, lærernettsteder, idrettslag og mer om John O'Connell High School i San Francisco, CA.

Hvordan få 36 på ACT English: 10 strategier fra en perfekt scorer

Å score 36 på ACT English krever perfeksjon. Lær en ACT -eksperts kritiske strategier for å mestre denne delen.

Komplett guide: SDSU ACT -poeng og GPA

Hva er ISEE? Komplett guide til eksamen

Spørsmål om ISEE-testen? Vi forklarer hva det er, når du skal ta det, og hvordan du skal studere.

De 12 beste høyskolene og programmene for kreativ skriving

Leter du etter de beste kreative skrivekollegiene i landet? Sjekk ut vår topp 12 liste over kreative skrivemagasiner og programmer.

De 127 beste isbryterspørsmålene å stille noen

Trenger du noen gode morsomme isbryter -spørsmål for å bli kjent med nye mennesker? Sjekk vår liste over isbryterideer.

DePauw University opptakskrav

Marist College SAT -poeng og GPA

Hva du må vite om Elise P. Buckingham Charter Magnet High School

Finn statlige rangeringer, SAT/ACT -poeng, AP -klasser, lærernettsteder, idrettslag og mer om Elise P. Buckingham Charter Magnet High School i Vacaville, CA.

Khan Academy SAT vil aldri være nok - her er hvorfor

Er Khan Academy sitt SAT -forberedelsesprogram godt nok til å forbedre SAT -poengsummen din? Lær de store manglene og hvorfor det aldri vil være godt nok for din SAT -praksis.

Den komplette guiden til AP verdenshistorieeksamen

Tar du AP verdenshistorisk test? Sørg for å lese vår komplette guide, som beskriver hvordan den dekker, hvordan spørsmål ser ut og hvordan du forbereder deg.